ما الذي يقيسه التكامل المحدود

سرعة السيارة ليست ثابتة؛ فقد تكون $3$ م/ث عند الزمن $t=0$، وتصبح $8$ م/ث لاحقاً، بل وقد تنخفض قيمتها أيضاً. إذا أردت حساب المسافة الإجمالية المقطوعة في الفترة الزمنية من $t=0$ إلى $t=5$، فإن مجرد ضرب معدل واحد في زمن واحد لا يصلح لهذا الموقف؛ لعدم وجود معدل ثابت يظل سارياً طوال الرحلة.

ما تبحث عنه في الواقع هو التغير الإجمالي الناتج عن تراكم تغيرات صغيرة عديدة. فخلال فترة زمنية متناهية الصغر، تظل السرعة ثابتة تقريباً، وبالتالي تكون المسافة المقطوعة مساوية تقريباً لحاصل ضرب السرعة في ذلك الزمن الصغير. وعند جمع هذه المسافات الصغيرة على امتداد الفترة الزمنية بأكملها، تحصل على المسافة الإجمالية.

هذه هي المشكلة التي يحلها التكامل المحدود؛ إذ يحوّل المعدل المتغير إلى تراكم إجمالي. والفكرة الجوهرية التي ستستخدمها مراراً في هذا المقرر هي أن التكامل المحدود يقيس صافي التراكم بوصفه المساحة الواقعة تحت المنحنى. وسرعان ما ستربط هذا المفهوم بـ “النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل”، ولكن ينبغي أولاً تكوين فهم ملموس وواضح لمعنى التكامل.

صافي التراكم قد يكون سالباً

تخيل دالة تمثل معدلاً تتغير قيمته بين الموجب والسالب. ففي حالة السرعة، تعني القيمة السالبة الحركة إلى الخلف، وفي حالة معدل التدفق النقدي، تعني القيمة السالبة الإنفاق. وعندما يكون المعدل سالباً، ينبغي أن تنخفض قيمة التغير الإجمالي.

في الرسم البياني للدالة $y=f(x)$، تقع القيم الموجبة للدالة فوق محور السينات ($x$-axis) وتقع القيم السالبة تحته. ويحسب التكامل المحدود المساحة الواقعة فوق المحور كمساهمة موجبة، والمساحة الواقعة تحته كمساهمة سالبة؛ ولهذا السبب فهو يقيس صافي التغير، وليس مجرد المقدار الإجمالي للحدث بغض النظر عن الاتجاه.

تعريف: يُفسَّر التكامل المحدود $\int_a^b f(x)\,dx$ على أنه المساحة الموجهة (المساحة ذات الإشارة) المحصورة بين منحنى الدالة $y=f(x)$ ومحور السينات في الفترة من $x=a$ إلى $x=b$.

من الأخطاء الشائعة اعتبار أي مساحة موجبةً تلقائياً؛ إذ ينبع هذا الحدس من دروس الهندسة، حيث تعني المساحة الحجم أو الحيز المادي. أما في مسائل التراكم، فإن الاتجاه له أهمية بالغة؛ فإذا تحركتَ للأمام مسافة $10$ أمتار ثم للخلف مسافة $6$ أمتار، فإن صافي التغير يكون $4$ أمتار، وليس $16$ متراً.

انظر إلى منحنى يقطع محور السينات، وحدد ما إذا كان صافي التراكم سيكون موجباً أم سالباً أم صفراً، وذلك بناءً على المساحة الموجهة التي لها الغلبة (أي المساحة الأكبر).

إذا كانت قيمة المنطقة السالبة (من حيث المقدار) أكبر من قيمة المنطقة الموجبة، فإن قيمة التكامل تكون سالبة، على الرغم من أن المساحة الهندسية التي يمكن قياسها باستخدام جهاز قياس المساحات (البلاميتر) تكون موجبة.

التقدير باستخدام المستطيلات

كيف يمكن الحصول على قيمة عددية لتلك المساحة الموجهة (المساحة ذات الإشارة) عندما لا يكون المنحنى شكلاً بسيطاً؟ تكمن الخطوة الجوهرية في استبدال المنحنى بمجموعة كبيرة من المستطيلات الرفيعة التي يمكن جمع مساحاتها.

لنأخذ الدالة $f(x)=x^2$ على الفترة $[0,2]$. قسّم الفترة إلى $n$ من الأجزاء المتساوية، بحيث يكون عرض كل منها:

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

في كل فترة جزئية صغيرة، اختر نقطة عينة $x_i^*$، واحسب قيمة الدالة عندها، ثم أنشئ مستطيلاً ارتفاعه $f(x_i^*)$ وعرضه $\Delta x$. تكون مساحة ذلك المستطيل تقريباً:

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

اجمع هذه المساحات كلها للحصول على تقدير للمساحة الكلية:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

بالنسبة للدالة $x^2$ على الفترة $[0,2]$، نجد أن المنحنى متزايد؛ لذا فإن المستطيلات المعتمدة على الطرف الأيسر للفترة الجزئية تميل إلى إعطاء تقدير أقل من القيمة الحقيقية، بينما تميل المستطيلات المعتمدة على الطرف الأيمن إلى إعطاء تقدير أعلى منها. ومع زيادة قيمة $n$، يقترب كلا التقديرين من القيمة نفسها، وهو ما يمثله التكامل المحدود.

قم بزيادة عدد المستطيلات ولاحظ كيف تستقر قيمة التقدير. ما هو العدد الذي تبدو أن قيم التقريب تقترب منه؟