الموجات بوصفها اضطرابات قابلة للتراكب

تُعرَّف الموجة بأنها اضطراب ينتقل في كمية فيزيائية ما. ففي موجة الماء، تتمثل هذه الكمية في إزاحة السطح عن وضع الاتزان، بينما تتمثل في موجة الصوت في ضغط الهواء وكثافته مقارنةً بقيمهما عند الاتزان. ينتقل الاضطراب وتنتقل معه الطاقة، لكن المادة لا تتدفق مع الموجة بالطريقة نفسها التي يتحرك بها جسم مقذوف عبر الفضاء.

في الموجة الميكانيكية النموذجية، يتذبذب كل جزء من الوسط حول موضع اتزانه. ففي حالة الوتر المشدود، يتحرك جزء صغير منه -في الغالب- صعوداً وهبوطاً بينما ينتقل نمط الموجة على طول الوتر. أما في حالة الصوت في الهواء، فتتذبذب حزمة صغيرة من الهواء ذهاباً وإياباً بينما تنتقل مناطق الانضغاط والتخلخل عبر الغرفة. وتُعد هذه التفرقة أمراً مهماً؛ لأنها تحول دون التعامل مع الموجات على أنها كتل مادية تتصادم فيما بينها.

يصبح النموذج الموجي مفيداً في التنبؤ عندما يُبدي الوسط استجابة خطية. وتعني الاستجابة الخطية أن قوى الإرجاع داخل الوسط تتناسب طردياً مع حجم الاضطراب؛ فإذا تضاعفت الإزاحة، تتضاعف قوة الإرجاع لكل وحدة كتلة، وبالتالي يتضاعف التسارع الناتج أيضاً. وفي ظل هذا النمط من السلوك، تكون معادلة الموجة خطية، وتستطيع الاضطرابات المرور عبر بعضها البعض دون أن يتغير شكلها بشكل دائم.

الاستجابة غير الخطية تمثل النمط المعاكس؛ إذ لا تتناسب تأثيرات القوى المُعيدة (التي تعيد النظام لحالته الأصلية) مع حجم الاضطراب، ولذا فإن الاضطرابات الكبيرة تُغيّر سرعة الموجة المحلية أو تولّد توافقيات (ترددات مضاعفة). وخلاصة هذا الدرس بسيطة: تتراكب الموجات الخطية بسلاسة ونظام، بينما لا يحدث ذلك مع الموجات غير الخطية.

التراكب يحدث نقطةً بنقطة

ينص مبدأ التراكب على أنه عند تداخل موجتين أو أكثر، فإن صافي الاضطراب عند موضع وزمن معينين يساوي المجموع الجبري للاضطرابات الفردية عند ذلك الموضع والزمن ذاتهما. وتكمن الأهمية هنا في عبارة “ذاتهما”؛ فأنت تجمع ما تساهم به كل موجة في الموقع نفسه وفي اللحظة نفسها.

للتعبير عن ذلك بالرموز: لنفترض أن $y(x,t)y(x,t)$ يمثل الإزاحة المستعرضة لوتر عن وضع الاتزان عند الموضع $xx$ (بالمتر) والزمن $tt$ (بالثانية). إذا كانت موجتان ستنتجان بشكل منفصل الإزاحتين $y_1(x,t)y\_1(x,t)$ و $y_2(x,t)y\_2(x,t)$، وكان الوسط يحافظ على سلوكه الخطي، فإن الاضطراب الكلي يكون:

$$y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)\mathrm{.}y(x,t)=y\_1(x,t)+y\_2(x,t).$$

تصف هذه المعادلة حالة تداخل لا تصادم؛ فالموجات لا ترتد عن بعضها البعض في النموذج الخطي، بل تمر عبر بعضها، وبمجرد انتهاء التداخل، تواصل كل موجة مسارها وكأن الأخرى لم تكن موجودة.

التحقق من الحالة الحدية: في حال غياب الموجة الثانية، تكون $y_2(x,t)=0y\_2(x,t)=0$ في جميع النقاط، وبالتالي تصبح $y(x,t)=y_1(x,t)y(x,t)=y\_1(x,t)$؛ أي أن القاعدة تؤول في النهاية إلى وصف الموجة المفردة التي بدأت بها.