Was ein bestimmtes Integral misst

Die Geschwindigkeit eines Autos ist nicht konstant. Zum Zeitpunkt $t=0$ mag sie $3$ m/s betragen, später vielleicht $8$ m/s, und sie kann sogar abfallen. Wenn man die gesamte zurückgelegte Strecke von $t=0$ bis $t=5$ ermitteln möchte, reicht es nicht aus, eine einzelne Rate mit einer einzelnen Zeitdauer zu multiplizieren, da es keine Rate gibt, die während der gesamten Fahrt gleich bleibt.

Was man eigentlich sucht, ist die Gesamtänderung, die sich aus vielen kleinen Änderungen zusammensetzt. Über ein winziges Zeitintervall hinweg ist die Geschwindigkeit nahezu konstant; die Strecke entspricht also näherungsweise dem Produkt aus Geschwindigkeit und diesem winzigen Zeitintervall. Addiert man diese kleinen Teilstrecken über das gesamte Intervall hinweg, erhält man die Gesamtstrecke.

Genau dieses Problem löst das bestimmte Integral. Es wandelt eine variable Rate in eine Gesamtansammlung (oder einen Gesamtwert) um. Die zentrale Erkenntnis, die in diesem Kurs immer wieder eine Rolle spielen wird, lautet: Das bestimmte Integral misst die Nettoansammlung als Fläche unter einer Kurve. Bald wirst du dies mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verknüpfen, doch zunächst muss ein konkretes Verständnis für die Bedeutung des Integrals entwickelt werden.

Die Nettoansammlung kann negativ sein

Stell dir eine Ratenfunktion vor, die mal positive und mal negative Werte annimmt. Bei der Geschwindigkeit bedeutet ein negativer Wert eine Rückwärtsbewegung. Bei einer Geldflussrate bedeutet ein negativer Wert eine Ausgabe. Ist die Rate negativ, sollte die Gesamtänderung abnehmen.

Im Graphen von $y=f(x)$ liegen positive Funktionswerte oberhalb der $x$-Achse und negative unterhalb. Das bestimmte Integral wertet Flächenstücke oberhalb der Achse als positiven Beitrag und Flächenstücke unterhalb der Achse als negativen Beitrag. Deshalb misst es die Nettoänderung und nicht einfach nur die Gesamtmenge des Geschehens unter Vernachlässigung der Richtung.

Definition Das bestimmte Integral $\int_a^b f(x)\,dx$ wird als orientierte Fläche zwischen dem Graphen von $y=f(x)$ und der $x$-Achse im Bereich von $x=a$ bis $x=b$ interpretiert.

Ein häufiger Fehler besteht darin, jede Fläche automatisch als positiv zu betrachten. Diese Intuition stammt aus dem Geometrieunterricht, wo eine Fläche eine physikalische Größe darstellt. Bei Problemen, die eine Ansammlung oder Änderung über die Zeit beschreiben, spielt die Richtung jedoch eine Rolle. Bewegt man sich $10$ Meter vorwärts und anschließend $6$ Meter rückwärts, beträgt die Nettoänderung $4$ Meter, nicht $16$.

Betrachte eine Kurve, die die $x$-Achse schneidet, und entscheide anhand der dominierenden orientierten Fläche, ob die Nettoansammlung positiv, negativ oder null sein sollte.

Wenn der Betrag des negativen Bereichs größer ist als der des positiven Bereichs, ist das Integral negativ – auch wenn der geometrische Flächeninhalt, den man mit einem Planimeter messen könnte, positiv wäre.

Approximation durch Rechtecke

Wie gelangt man zu einem Zahlenwert für diesen orientierten Flächeninhalt, wenn die Kurve keine einfache Form aufweist? Der entscheidende Schritt besteht darin, die Kurve durch viele schmale Rechtecke zu ersetzen, deren Flächeninhalte man addieren kann.

Betrachten wir $f(x)=x^2$ auf dem Intervall $[0,2]$. Unterteilen wir das Intervall in $n$ gleich große Abschnitte, jeweils mit der Breite

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

Wählen wir in jedem kleinen Teilintervall einen Stützpunkt $x_i^*$, berechnen dort den Funktionswert und bilden ein Rechteck mit der Höhe $f(x_i^*)$ und der Breite $\Delta x$. Der Flächeninhalt dieses Rechtecks beträgt näherungsweise

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

Addieren wir alle diese Werte, um den Gesamtflächeninhalt zu approximieren:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

Im Fall von $x^2$ auf $[0,2]$ ist die Kurve steigend; daher unterschätzen Rechtecke, die am linken Rand ansetzen, tendenziell den Flächeninhalt, während Rechtecke, die am rechten Rand ansetzen, ihn tendenziell überschätzen. Mit zunehmendem $n$ nähern sich beide Schätzwerte demselben Wert an – genau dies beschreibt das bestimmte Integral.

Erhöhen Sie die Anzahl der Rechtecke und beobachten Sie, wie sich der Schätzwert einpendelt. Welchem Wert scheinen sich die Approximationen anzunähern?