Qué mide una integral definida

La velocidad de un automóvil no es constante. En el instante $t=0$ podría ser de $3$ m/s, más tarde podría ser de $8$ m/s, e incluso puede disminuir. Si deseas conocer la distancia total recorrida desde $t=0$ hasta $t=5$, multiplicar una única tasa por un único intervalo de tiempo no es adecuado, ya que no existe una tasa constante que se mantenga durante todo el trayecto.

Lo que realmente buscas es el cambio total resultante de muchos cambios pequeños. Durante un intervalo de tiempo muy breve, la velocidad es casi constante; por tanto, la distancia es aproximadamente el producto de la velocidad por ese breve intervalo de tiempo. Si sumas esas pequeñas distancias a lo largo de todo el intervalo, obtienes la distancia total.

Ese es el problema que resuelve una integral definida: transforma una tasa variable en una acumulación total. La idea clave que utilizarás repetidamente en este curso es que la integral definida mide la acumulación neta como el área bajo una curva. Pronto relacionarás esto con el Teorema Fundamental del Cálculo, pero primero es necesario que el significado de la integral resulte concreto.

La acumulación neta puede ser negativa

Imagina una función de tasa que a veces es positiva y a veces negativa. En el caso de la velocidad, un valor negativo significa moverse hacia atrás. Para una tasa de flujo de caja, un valor negativo implica un gasto. Cuando la tasa es negativa, el cambio total debe disminuir.

En la gráfica de $y=f(x)$, los valores positivos se sitúan por encima del eje $x$ y los negativos por debajo. La integral definida contabiliza el área situada sobre el eje como una contribución positiva y el área situada bajo el eje como una contribución negativa. Por eso mide el cambio neto, y no simplemente la magnitud total de los sucesos sin tener en cuenta la dirección.

Definición La integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ se interpreta como el área con signo entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje $x$, desde $x=a$ hasta $x=b$.

Un error común es considerar que cualquier área es automáticamente positiva. Esa intuición proviene de las clases de geometría, donde el área representa una magnitud física. En los problemas de acumulación, la dirección es importante. Si avanzas $10$ metros y luego retrocedes $6$ metros, tu cambio neto es de $4$ metros, no de $16$.

Observa una curva que cruce el eje $x$ y determina si la acumulación neta debería ser positiva, negativa o nula, basándote en qué área con signo predomina.

Si la región negativa tiene mayor magnitud que la región positiva, la integral es negativa, aunque el área geométrica que se podría medir con un planímetro sería positiva.

Aproximación mediante rectángulos

¿Cómo se obtiene un valor numérico para esa área con signo cuando la curva no tiene una forma sencilla? La estrategia clave consiste en sustituir la curva por muchos rectángulos estrechos cuyas áreas se puedan sumar.

Consideremos $f(x)=x^2$ en el intervalo $[0,2]$. Dividamos el intervalo en $n$ partes iguales, cada una con una anchura de

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

En cada subintervalo, elijamos un punto de muestra $x_i^*$, evaluemos la función en dicho punto y construyamos un rectángulo de altura $f(x_i^*)$ y anchura $\Delta x$. El área de ese rectángulo es aproximadamente

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

Sumemos todas estas áreas para aproximar el área total:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

En el caso de $x^2$ en $[0,2]$, la curva es creciente; por tanto, los rectángulos basados en el extremo izquierdo tienden a subestimar el área, mientras que los basados en el extremo derecho tienden a sobreestimarla. A medida que $n$ aumenta, ambas estimaciones convergen hacia un mismo valor, que es precisamente lo que representa la integral definida.

Aumenta el número de rectángulos y observa cómo se estabiliza la estimación. ¿A qué número parecen aproximarse los valores obtenidos?