Ce que mesure une intégrale définie

La vitesse d’une voiture n’est pas constante. À l’instant $t=0$, elle peut être de $3$ m/s, plus tard de $8$ m/s, et elle peut même diminuer. Si vous voulez connaître la distance totale parcourue entre $t=0$ et $t=5$, multiplier une vitesse unique par une durée unique ne convient pas, car aucune vitesse ne reste constante tout au long du trajet.

Ce que vous recherchez en réalité, c’est une variation totale résultant de nombreuses petites variations. Sur un intervalle de temps très court, la vitesse est quasi constante ; la distance parcourue est donc approximativement égale au produit de la vitesse par cette courte durée. En additionnant ces distances élémentaires sur l’ensemble de l’intervalle, vous obtenez la distance totale.

C’est précisément le problème que résout l’intégrale définie. Elle transforme un taux variable en une accumulation totale. L’idée clé, que vous retrouverez souvent dans ce cours, est que l’intégrale définie mesure l’accumulation nette sous la forme de l’aire située sous une courbe. Vous ferez bientôt le lien avec le théorème fondamental de l’analyse, mais il faut d’abord que la signification de l’intégrale devienne concrète pour vous.

L’accumulation nette peut être négative

Imaginez une fonction de taux qui prend tantôt des valeurs positives, tantôt des valeurs négatives. Pour la vitesse, une valeur négative signifie un déplacement en marche arrière. Pour un flux de trésorerie, une valeur négative correspond à une dépense. Lorsque le taux est négatif, la variation totale doit diminuer.

Sur le graphique de la fonction $y=f(x)$, les valeurs positives se situent au-dessus de l’axe des abscisses (axe des $x$) et les valeurs négatives en dessous. L’intégrale définie comptabilise l’aire située au-dessus de l’axe comme une contribution positive et l’aire située en dessous comme une contribution négative. C’est pourquoi elle mesure la variation nette, et non simplement la quantité totale d’activité indépendamment de la direction.

Définition L’intégrale définie $\int_a^b f(x)\,dx$ s’interprète comme l’aire algébrique (ou aire signée) comprise entre la courbe de $y=f(x)$ et l’axe des abscisses, de $x=a$ à $x=b$.

Une erreur fréquente consiste à considérer toute aire comme étant automatiquement positive. Cette intuition provient des cours de géométrie, où l’aire représente une grandeur physique. Dans les problèmes d’accumulation, la direction a de l’importance. Si vous avancez de $10$ mètres puis reculez de $6$ mètres, votre variation nette est de $4$ mètres, et non de $16$.

Observez une courbe qui traverse l’axe des abscisses et déterminez si l’accumulation nette doit être positive, négative ou nulle, en fonction de l’aire algébrique qui prédomine.

Si la région négative est plus grande en valeur absolue que la région positive, l’intégrale est négative, alors même que l’aire géométrique mesurable au planimètre serait positive.

Approximation par des rectangles

Comment obtenir une valeur numérique pour cette aire algébrique lorsque la courbe ne présente pas une forme simple ? L’astuce consiste à remplacer la courbe par une multitude de rectangles étroits dont on peut additionner les aires.

Prenons $f(x)=x^2$ sur l’intervalle $[0,2]$. Divisons cet intervalle en $n$ parties égales, chacune de largeur

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

Dans chaque petit sous-intervalle, choisissons un point $x_i^*$, évaluons la fonction en ce point et construisons un rectangle de hauteur $f(x_i^*)$ et de largeur $\Delta x$. L’aire de ce rectangle est approximativement égale à

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

Additionnons-les toutes pour obtenir une approximation de l’aire totale :

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

Pour la fonction $x^2$ sur $[0,2]$, la courbe est croissante ; ainsi, les rectangles basés sur l’extrémité gauche tendent à sous-estimer l’aire, tandis que ceux basés sur l’extrémité droite tendent à la surestimer. À mesure que $n$ augmente, ces deux estimations convergent vers une même valeur, ce qui correspond à la définition de l’intégrale définie.

Augmentez le nombre de rectangles et observez comment l’estimation se stabilise. Vers quelle valeur les approximations semblent-elles tendre ?