डेफिनेट इंटीग्रल क्या मापता है

कार की वेलोसिटी (वेग) स्थिर नहीं होती है। समय $t=0$ पर यह $3$ m/s हो सकती है, बाद में $8$ m/s हो सकती है, और यह कम भी हो सकती है। अगर आप $t=0$ से $t=5$ तक तय की गई कुल दूरी जानना चाहते हैं, तो एक रेट (दर) को एक समय से गुणा करके जोड़ना इस स्थिति के लिए सही नहीं है, क्योंकि पूरी यात्रा के दौरान कोई एक रेट स्थिर नहीं रहता है।

असल में आपको कई छोटे-छोटे बदलावों से बना कुल बदलाव चाहिए। समय के एक बहुत छोटे हिस्से में, वेलोसिटी लगभग स्थिर रहती है, इसलिए दूरी लगभग वेलोसिटी और उस छोटे समय का गुणनफल होती है। अगर आप पूरे अंतराल (interval) में उन छोटी दूरियों को जोड़ते हैं, तो आपको कुल दूरी मिल जाती है।

डेफिनेट इंटीग्रल इसी समस्या को हल करता है। यह बदलते हुए रेट को कुल जमा (accumulation) में बदल देता है। इस कोर्स में आप बार-बार यह बात देखेंगे कि डेफिनेट इंटीग्रल कर्व के नीचे के एरिया के रूप में नेट जमा को मापता है। जल्द ही आप इसे कैलकुलस के फंडामेंटल थ्योरम से जोड़ेंगे, लेकिन पहले इंटीग्रल का मतलब अच्छी तरह समझ लेना ज़रूरी है।

नेट जमा नेगेटिव हो सकता है

एक ऐसे रेट फंक्शन की कल्पना करें जो कभी पॉजिटिव और कभी नेगेटिव होता है। वेलोसिटी के लिए, नेगेटिव का मतलब पीछे की ओर बढ़ना है। कैशफ़्लो रेट के लिए, नेगेटिव का मतलब खर्च करना है। जब रेट नेगेटिव होता है, तो कुल बदलाव कम होना चाहिए।

$y=f(x)$ के ग्राफ़ पर, पॉजिटिव आउटपुट $x$-एक्सिस के ऊपर होते हैं और नेगेटिव आउटपुट उसके नीचे होते हैं। डेफिनेट इंटीग्रल एक्सिस के ऊपर के एरिया को पॉजिटिव योगदान और एक्सिस के नीचे के एरिया को नेगेटिव योगदान के रूप में गिनता है। इसीलिए यह नेट बदलाव को मापता है, न कि सिर्फ़ यह कि दिशा को नज़रअंदाज़ करते हुए कितना बदलाव हुआ।

परिभाषा डेफिनेट इंटीग्रल $\int_a^b f(x)\,dx$ का मतलब $y=f(x)$ के ग्राफ़ और $x$-एक्सिस के बीच $x=a$ से $x=b$ तक का साइन्ड एरिया (चिह्न-युक्त क्षेत्रफल) होता है।

एक आम गलती किसी भी एरिया को अपने आप पॉजिटिव मान लेना है। यह सोच ज्योमेट्री क्लास से आती है, जहाँ एरिया का मतलब फिजिकल साइज़ होता है। जमा (accumulation) वाली समस्याओं में, दिशा मायने रखती है। अगर आप $10$ मीटर आगे बढ़ते हैं और फिर $6$ मीटर पीछे आते हैं, तो आपका नेट बदलाव $4$ मीटर होता है, $16$ मीटर नहीं।

एक ऐसे कर्व को देखें जो $x$-एक्सिस को काटता है और तय करें कि नेट जमा पॉजिटिव, नेगेटिव या ज़ीरो होना चाहिए, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा साइन्ड एरिया ज़्यादा है।

अगर नेगेटिव हिस्से का मान पॉजिटिव हिस्से से ज़्यादा है, तो इंटीग्रल नेगेटिव होगा, भले ही प्लेनिमीटर से मापा गया जियोमेट्रिक एरिया पॉजिटिव हो।

आयतों (rectangles) से अनुमान लगाना

जब कर्व कोई साधारण आकार न हो, तो उस साइन्ड एरिया (signed area) के लिए कोई संख्या कैसे मिलेगी? मुख्य तरीका यह है कि कर्व की जगह कई पतले आयत ले लिए जाएँ जिनके एरिया को जोड़ा जा सके।

$[0,2]$ पर $f(x)=x^2$ लें। इंटरवल को $n$ बराबर हिस्सों में बाँटें, जिनमें से हर एक की चौड़ाई हो

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

हर छोटे सब-इंटरवल पर, एक सैंपल पॉइंट $x_i^*$ चुनें, वहाँ फ़ंक्शन का मान निकालें, और $f(x_i^*)$ ऊँचाई और $\Delta x$ चौड़ाई वाला एक आयत बनाएँ। उस आयत का एरिया लगभग होगा

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

कुल एरिया का अनुमान लगाने के लिए उन सबको जोड़ दें।

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

$[0,2]$ पर $x^2$ के लिए, कर्व बढ़ रहा है, इसलिए बाएँ सिरे (left-endpoint) वाले आयत कम अनुमान (underestimate) देते हैं और दाएँ सिरे (right-endpoint) वाले आयत ज़्यादा अनुमान (overestimate) देते हैं। जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है, दोनों अनुमान एक ही मान की ओर सिमटते जाते हैं, और यही डेफिनेट इंटीग्रल (definite integral) का मतलब है।

आयतों की संख्या बढ़ाएँ और देखें कि अनुमान कैसे स्थिर होता है। अनुमान किस संख्या के करीब पहुँचते दिखते हैं?