तरंगें: ऐसी हलचल जो एक-दूसरे पर अध्यारोपित (superpose) होती हैं

तरंग (wave) किसी भौतिक राशि में होने वाली एक ऐसी हलचल है जो आगे बढ़ती है। पानी की तरंग में, यह राशि संतुलन की स्थिति से सतह का विस्थापन (displacement) होती है। ध्वनि तरंग में, यह हवा का दबाव और घनत्व होता है जो उनके संतुलन मानों (equilibrium values) के सापेक्ष होता है। हलचल आगे बढ़ती है और ऊर्जा भी उसके साथ चलती है, लेकिन पदार्थ तरंग के साथ उस तरह नहीं बहता जैसे हवा में फेंकी गई कोई वस्तु आगे बढ़ती है।

एक सामान्य यांत्रिक तरंग (mechanical wave) में, माध्यम का हर कण संतुलन की स्थिति के आस-पास दोलन (oscillate) करता है। तनी हुई डोरी के मामले में, एक छोटा हिस्सा मुख्य रूप से ऊपर-नीचे गति करता है जबकि तरंग का पैटर्न डोरी के साथ-साथ आगे बढ़ता है। हवा में ध्वनि के मामले में, हवा का एक छोटा हिस्सा आगे-पीछे दोलन करता है जबकि संपीड़न (compression) और विरलन (rarefaction) के क्षेत्र कमरे में आगे बढ़ते हैं। यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि यह आपको तरंगों को पदार्थ के ऐसे टुकड़ों के रूप में देखने से रोकता है जो आपस में टकराते हैं।

तरंग मॉडल तब पूर्वानुमान लगाने के लिए उपयोगी हो जाता है जब माध्यम रैखिक प्रतिक्रिया (linear response) दिखाता है। रैखिक प्रतिक्रिया का अर्थ है कि माध्यम के भीतर पुनर्स्थापक प्रभाव (restoring effects) हलचल के आकार के समानुपाती होते हैं। विस्थापन दोगुना करने पर प्रति इकाई द्रव्यमान पुनर्स्थापक बल दोगुना हो जाता है, जिससे परिणामी त्वरण (acceleration) भी दोगुना हो जाता है। उस स्थिति में, तरंग समीकरण रैखिक होता है और हलचलें बिना अपना आकार स्थायी रूप से बदले एक-दूसरे के आर-पार जा सकती हैं।

नॉन-लीनियर रिस्पॉन्स इसके ठीक उलट स्थिति है। इसमें रिस्टोरिंग इफ़ेक्ट (वापस लाने वाले प्रभाव) डिस्टर्बेंस के साइज़ के अनुपात में नहीं होते, इसलिए बड़े डिस्टर्बेंस से लोकल वेव स्पीड बदल जाती है या हार्मोनिक्स पैदा होते हैं। इस लेसन का नतीजा सीधा है। लीनियर वेव्स आसानी से सुपरपोज़ (एक-दूसरे पर अध्यारोपित) हो जाती हैं, जबकि नॉन-लीनियर वेव्स ऐसा नहीं करतीं।

सुपरपोज़िशन हर पॉइंट पर होता है

सुपरपोज़िशन का सिद्धांत कहता है कि जब दो या उससे ज़्यादा वेव्स ओवरलैप करती हैं, तो किसी खास जगह और समय पर कुल डिस्टर्बेंस, उसी जगह और समय पर अलग-अलग वेव्स के डिस्टर्बेंस के बीजगणितीय योग (अलजेब्रिक सम) के बराबर होता है। यहाँ ‘उसी’ (same) शब्द का महत्व है। आप उस एक ही जगह और एक ही पल पर हर वेव के योगदान को जोड़ते हैं।

इसे सिंबल के ज़रिए समझें: मान लीजिए $y(x,t)y(x,t)$ एक स्ट्रिंग का इक्विलिब्रियम (संतुलन) से ट्रांसवर्स विस्थापन है, जहाँ $xx$ मीटर में पोज़िशन है और $tt$ सेकंड में समय है। अगर दो वेव्स अलग-अलग $y_1(x,t)y\_1(x,t)$ और $y_2(x,t)y\_2(x,t)$ पैदा करती हैं, और मीडियम लीनियर स्थिति में रहता है, तो कुल डिस्टर्बेंस होगा:

$$y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)\mathrm{.}y(x,t)=y\_1(x,t)+y\_2(x,t).$$

यह इक्वेशन ओवरलैप को बताती है, टक्कर (collision) को नहीं। लीनियर मॉडल में वेव्स एक-दूसरे से टकराकर वापस नहीं लौटतीं। वे एक-दूसरे के आर-पार निकल जाती हैं, और जब वे ओवरलैप करना बंद कर देती हैं, तो हर वेव ऐसे आगे बढ़ती है जैसे दूसरी वेव वहाँ थी ही नहीं।

लिमिटिंग केस की जाँच: अगर वेव 2 मौजूद नहीं है, तो हर जगह $y_2(x,t)=0y\_2(x,t)=0$ होगा, इसलिए $y(x,t)=y_1(x,t)y(x,t)=y\_1(x,t)$ होगा। यह नियम उसी अकेली वेव पर लागू हो जाता है जिससे आपने शुरुआत की थी।