O que uma integral definida mede

A velocidade de um carro não é constante. No instante $t=0$, ela pode ser $3$ m/s; mais tarde, pode ser $8$ m/s, e pode até diminuir. Se você quiser saber a distância total percorrida de $t=0$ a $t=5$, multiplicar uma única taxa por um único intervalo de tempo não é adequado, pois não existe uma taxa única que permaneça válida durante todo o trajeto.

O que você realmente busca é a variação total resultante de muitas pequenas variações. Em um intervalo de tempo muito curto, a velocidade é praticamente constante; portanto, a distância é aproximadamente a velocidade multiplicada por esse pequeno intervalo de tempo. Ao somar essas pequenas distâncias ao longo de todo o intervalo, obtém-se a distância total.

Esse é o problema que a integral definida resolve. Ela transforma uma taxa variável em um acúmulo total. O conceito fundamental que você utilizará repetidamente neste curso é que a integral definida mede o acúmulo líquido como a área sob uma curva. Em breve, você relacionará isso ao Teorema Fundamental do Cálculo, mas, antes, é preciso que o significado da integral se torne concreto para você.

O acúmulo líquido pode ser negativo

Imagine uma função de taxa que ora é positiva, ora é negativa. No caso da velocidade, um valor negativo significa movimento em sentido contrário (para trás). Para uma taxa de fluxo de caixa, um valor negativo significa gasto. Quando a taxa é negativa, a variação total deve diminuir.

Em um gráfico de $y=f(x)$, os valores positivos situam-se acima do eixo $x$, e os valores negativos, abaixo dele. A integral definida contabiliza a área acima do eixo como uma contribuição positiva e a área abaixo do eixo como uma contribuição negativa. É por isso que ela mede a variação líquida, e não apenas a quantidade total ocorrida, independentemente da direção.

Definição A integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ é interpretada como a área com sinal entre o gráfico de $y=f(x)$ e o eixo $x$, de $x=a$ a $x=b$.

Um erro comum é considerar qualquer área como sendo automaticamente positiva. Essa intuição vem das aulas de geometria, nas quais a área representa uma dimensão física. Em problemas de acúmulo, a direção é importante. Se você avança $10$ metros e depois recua $6$ metros, sua variação líquida é de $4$ metros, e não $16$.

Observe uma curva que cruza o eixo $x$ e determine se o acúmulo líquido deve ser positivo, negativo ou nulo, com base em qual área com sinal predomina.

Se a região negativa tiver magnitude maior que a região positiva, a integral será negativa, embora a área geométrica que se poderia medir com um planímetro fosse positiva.

Aproximação com retângulos

Como obter um valor numérico para essa área com sinal quando a curva não tem um formato simples? A estratégia fundamental é substituir a curva por muitos retângulos estreitos cujas áreas podem ser somadas.

Considere $f(x)=x^2$ no intervalo $[0,2]$. Divida o intervalo em $n$ partes iguais, cada uma com largura

$$\Delta x=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}.$$

Em cada pequeno subintervalo, escolha um ponto de amostra $x_i^*$, calcule o valor da função nesse ponto e construa um retângulo com altura $f(x_i^*)$ e largura $\Delta x$. A área desse retângulo é aproximadamente

$$f(x_i^*)\Delta x.$$

Some todas essas áreas para obter uma aproximação da área total.

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x$$

Para a função $x^2$ no intervalo $[0,2]$, a curva é crescente; portanto, retângulos definidos pela extremidade esquerda tendem a subestimar a área, enquanto retângulos definidos pela extremidade direita tendem a superestimá-la. À medida que $n$ aumenta, ambas as estimativas convergem para o mesmo valor, que é o significado da integral definida.

Aumente o número de retângulos e observe como a estimativa se estabiliza. A qual valor as aproximações parecem tender?