دو آزادانہ حرکات، ایک پرواز

پھینکی گئی گیند کا راستہ (آرک)، ایک ایک لمحے کے حساب سے

کسی بھی چیز کی وضاحت کرنے سے پہلے ایک ‘کوآرڈینیٹ سسٹم’ (مختصاتی نظام) کا انتخاب کریں۔ فرض کریں کہ $xx$-سمت افقی (horizontal) ہے اور آگے کی طرف مثبت ہے۔ فرض کریں کہ $yy$-سمت عمودی (vertical) ہے اور اوپر کی طرف مثبت ہے۔ تب گیند کی پوزیشن کو دو کوآرڈینیٹس، $xx$ اور $yy$ کے ذریعے بیان کیا جاتا ہے، جن میں سے ہر ایک کی پیمائش میٹر (m) میں کی جاتی ہے۔

اب رفتار (velocity) کے تناظر میں سوچیں۔ رفتار ایک ویکٹر ہے، لہذا اس کا ایک افقی جزو $v_{x}v\_x$ اور ایک عمودی جزو $v_{y}v\_y$ ہوتا ہے۔ ہر جزو کی پیمائش میٹر فی سیکنڈ (m/s) میں کی جاتی ہے۔ مشاہدے پر مبنی اہم بات سادہ ہے۔ جیسے جیسے گیند ہوا میں سفر کرتی ہے، بائیں سے دائیں جانب لگاتار پوزیشنوں کے درمیان فاصلہ یکساں رہتا ہے، جبکہ اوپر کی جانب لگاتار پوزیشنوں کے درمیان فاصلہ تبدیل ہوتا رہتا ہے۔ سادہ الفاظ میں، اس کا مطلب یہ ہے کہ افقی حرکت مستقل (steady) رہتی ہے جبکہ عمودی حرکت کی رفتار بڑھتی یا کم ہوتی رہتی ہے۔

ایک عام غلط فہمی کا ازالہ ضروری ہے۔ بہت سے لوگ سمجھتے ہیں کہ گیند کی افقی رفتار کم ہو جانی چاہیے کیونکہ وہ اوپر کی طرف جا رہی ہے۔ یہ بات درست معلوم ہوتی ہے کیونکہ روزمرہ کے تجربات میں، جیسے کہ پہاڑی پر سائیکل چلاتے وقت، اوپر چڑھنے میں اکثر رفتار کم ہو جاتی ہے۔ لیکن ہمارے ماڈل میں، ہوا میں کوئی ایسی ‘رابطہ قوت’ (contact force) موجود نہیں جو گیند کو پیچھے کی طرف دھکیلے، لہذا رفتار کم ہونے کی کوئی افقی وجہ نہیں ہے۔

دو کہانیاں جو ایک ہی گھڑی کے ساتھ چلتی ہیں

گیند کی پرواز کو دو بیک وقت (simultaneous) ہونے والی حرکتوں کے طور پر دیکھیں۔

• $xx$-حرکت افقی کہانی ہے۔ اس میں $xx$ اور $v_{x}v\_x$ استعمال ہوتے ہیں۔
• $yy$-حرکت عمودی کہانی ہے۔ اس میں $yy$ اور $v_{y}v\_y$ استعمال ہوتے ہیں۔

یہ حرکتیں اس لحاظ سے آزاد ہیں کہ عمودی تبدیلی کو کنٹرول کرنے والا اصول اس بات پر منحصر نہیں ہے کہ افقی طور پر کیا ہو رہا ہے۔ لیکن یہ الگ الگ واقعات نہیں ہیں۔ یہ دونوں ایک ہی وقت $tt$ (جس کی پیمائش سیکنڈز میں ہوتی ہے) کے ساتھ منسلک ہیں۔ کسی بھی لمحے، گیند کی ایک وقتی ریڈنگ، ایک $xx$ اور ایک $yy$ ہوتا ہے۔ جب گیند اپنے بلند ترین مقام پر پہنچتی ہے، تو وہی وقت افقی پوزیشن اور عمودی پوزیشن، دونوں کے لیے استعمال ہوتا ہے۔

اسی وجہ سے اس مسئلے کا حل ممکن ہو پاتا ہے۔ آپ معلوم کرتے ہیں کہ وقت گزرنے کے ساتھ $yy$ میں کیا تبدیلی آتی ہے، اور اسی وقت کے دوران $xx$ میں کیا تبدیلی آتی ہے۔ پھر آپ $tt$ کی مماثل (matching) اقدار پر ان نتائج کو یکجا کرتے ہیں۔

آپ کون سا ماڈل استعمال کر رہے ہیں

اس کورس میں ‘پروجیکٹائل موشن’ (پھینکی گئی چیز کی حرکت) کے لیے ایک مخصوص ماڈل استعمال کیا گیا ہے۔ یہ مختصر فاصلوں پر پھینکی گئی بہت سی اشیاء کی حرکت سے بخوبی مطابقت رکھتا ہے، لیکن یہ حقیقی دنیا کی مکمل تفصیلات کا احاطہ نہیں کرتا۔

• آپ ہوا کی مزاحمت (air drag) کو نظر انداز کرتے ہیں۔ ہوا کی جانب سے حرکت کے مخالف سمت میں کوئی قوت عمل نہیں کرتی۔
• کششِ ثقل مستقل اور عمودی (vertical) ہے۔ گیند میں کششِ ثقل کی وجہ سے نیچے کی سمت ایک مستقل اسراع (acceleration) ہوتا ہے، جسے $gg$ لکھا جاتا ہے اور اس کی پیمائش میٹر فی سیکنڈ مربع (m/s${}^2^2$) میں کی جاتی ہے۔
• آپ جسم (object) کو ایک نقطے کی مانند تصور کرتے ہیں۔ اس کا سائز، گھماؤ (spin) اور شکل اہمیت نہیں رکھتے۔
• آپ ایک ‘انرشیل فریم’ (inertial frame) میں کام کر رہے ہیں، یعنی آپ کسی ایسے پلیٹ فارم سے حرکت کا تجزیہ نہیں کر رہے جو خود اسراع (accelerate) کر رہا ہو۔ ان حالات میں، صرف عمودی سمت میں اسراع پایا جاتا ہے۔ افقی (horizontal) اسراع صفر ہوتا ہے۔ یہی وہ واحد بات ہے جس کی وجہ سے حرکت کے اجزاء (عمودی اور افقی) واضح طور پر الگ الگ رہتے ہیں۔

اہم: اگر ہوا کی مزاحمت (air drag) کو مدنظر رکھا جائے، تو ہوا کی قوت عام طور پر کسی حد تک پیچھے کی سمت عمل کرتی ہے، جس سے $v_{x}v\_x$ تبدیل ہو جاتا ہے۔ اس طرح اجزاء کا باہمی استقلال (independence) ختم ہو جاتا ہے اور حرکت کا راستہ (arc) اب سادہ اور مثالی ‘پروجیکٹائل آرک’ نہیں رہتا۔

وہ پیش گوئیاں جو آپ کسی بھی مساوات (equation) کے بغیر کر سکتے ہیں

چونکہ اس ماڈل میں افقی اسراع صفر ہے، اس لیے پوری پرواز کے دوران $v_{x}v\_x$ مستقل رہتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ گیند مساوی وقت کے وقفوں میں مساوی افقی فاصلہ طے کرتی ہے، چاہے وہ اوپر جا رہی ہو، اپنے بلند ترین مقام پر ہو، یا نیچے آ رہی ہو۔ چونکہ عمودی اسراع نیچے کی سمت اور مستقل ہے، اس لیے $v_{y}v\_y$ میں مسلسل تبدیلی آتی ہے۔ اوپر جاتے ہوئے، $v_{y}v\_y$ مثبت تو ہوتا ہے لیکن کم ہو کر صفر کی طرف بڑھتا ہے۔ بلند ترین مقام پر، ایک لمحے کے لیے $v_y=0v\_y\; =\; 0$ ہو جاتا ہے، لیکن گیند رکتی نہیں ہے۔ اس میں اب بھی $v_{x}v\_x$ موجود ہوتا ہے، لہذا یہ حرکت جاری رکھتی ہے۔ نیچے آتے ہوئے، $v_{y}v\_y$ منفی ہو جاتا ہے اور اس کی مقدار (magnitude) بڑھتی جاتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ گیند نیچے کی طرف تیز ہو رہی ہے۔

رفتار (speed) دونوں اجزاء کا مجموعہ ہوتی ہے۔ گیند عام طور پر اپنے بلند ترین مقام پر سب سے سست ہوتی ہے کیونکہ وہاں عمودی جزو صفر ہو چکا ہوتا ہے اور صرف افقی جزو باقی رہ جاتا ہے۔ یہ لانچ (شروعات) کے قریب اور لینڈنگ (زمین پر واپسی) کے قریب (اگر یہ اسی بلندی پر واپس آئے) سب سے تیز ہوتی ہے، کیونکہ ان اوقات میں $\mathrm{\mid }{v}_y\mathrm{\mid }|v\_y|$ کی مقدار زیادہ ہوتی ہے۔

ان تصورات کو حرکت کے چند راستوں اور رفتار کے تیروں (velocity arrows) کی مدد سے جانچ کر دیکھیں۔