موجیں: ایسے خلل جو ایک دوسرے پر منطبق (superpose) ہو سکتے ہیں

موج (wave) کسی طبعی مقدار میں سفر کرنے والے خلل یا اضطراب کا نام ہے۔ پانی کی موج میں یہ مقدار توازن کی حالت (equilibrium) سے سطح کے ہٹاؤ (displacement) پر مشتمل ہوتی ہے۔ آواز کی موج میں یہ مقدار ہوا کے دباؤ اور کثافت (density) سے متعلق ہوتی ہے جو ان کی توازن والی قدروں کے تناظر میں دیکھی جاتی ہے۔ خلل آگے بڑھتا ہے اور توانائی اس کے ساتھ سفر کرتی ہے، لیکن مادّہ موج کے ساتھ اس طرح نہیں بہتا جیسے خلا میں پھینکی گئی کوئی چیز حرکت کرتی ہے۔

ایک عام میکانیکی موج میں، واسطے (medium) کا ہر ذرہ اپنی توازن کی پوزیشن کے گرد ارتعاش (oscillate) کرتا ہے۔ کھنچے ہوئے تار کی صورت میں، اس کا ایک چھوٹا سا حصہ بنیادی طور پر اوپر نیچے حرکت کرتا ہے جبکہ موج کا نمونہ تار کے ساتھ ساتھ آگے بڑھتا ہے۔ ہوا میں آواز کے معاملے میں، ہوا کا ایک چھوٹا سا حصہ آگے پیچھے ارتعاش کرتا ہے جبکہ دباؤ کے بڑھنے (compression) اور کم ہونے (rarefaction) کے خطے کمرے میں سفر کرتے ہیں۔ یہ فرق اس لیے اہم ہے کیونکہ یہ آپ کو موجوں کو مادّے کے ایسے ٹکڑوں کے طور پر دیکھنے سے روکتا ہے جو آپس میں ٹکراتے ہیں۔

موج کا ماڈل پیش گوئی کرنے کے لیے تب مفید ثابت ہوتا ہے جب واسطہ خطی ردعمل (linear response) کا مظاہرہ کرے۔ خطی ردعمل کا مطلب ہے کہ واسطے کے اندر بحالی کے اثرات (restoring effects) خلل کی شدت یا جسامت کے براہِ راست متناسب ہوں۔ اگر ہٹاؤ (displacement) کو دوگنا کر دیا جائے تو فی اکائی کمیت (per unit mass) بحالی قوت بھی دوگنی ہو جاتی ہے، اور نتیجتاً اسراع (acceleration) بھی دوگنا ہو جاتا ہے۔ اس کیفیت میں، موج کی مساوات خطی (linear) ہوتی ہے اور خلل ایک دوسرے میں سے گزر سکتے ہیں بغیر اپنی شکل کو مستقل طور پر تبدیل کیے۔

غیر لکیری (nonlinear) ردعمل اس کے برعکس کیفیت ہے۔ اس میں بحالی کے اثرات (restoring effects) خلل یا اضطراب کے حجم کے متناسب نہیں ہوتے، لہٰذا بڑے پیمانے کا خلل مقامی لہر کی رفتار کو تبدیل کر دیتا ہے یا ہارمونکس (harmonics) پیدا کرتا ہے۔ اس سبق کا نتیجہ سادہ ہے: لکیری (linear) لہریں باآسانی ایک دوسرے پر منطبق (superpose) ہو جاتی ہیں، جبکہ غیر لکیری لہروں کے ساتھ ایسا نہیں ہوتا۔

سپر پوزیشن (Superposition) نقطہ بہ نقطہ عمل ہے

سپر پوزیشن کا اصول یہ کہتا ہے کہ جب دو یا دو سے زیادہ لہریں آپس میں ملتی ہیں (یا اوورلیپ کرتی ہیں)، تو کسی مخصوص مقام اور وقت پر مجموعی خلل (net disturbance) اسی مقام اور وقت پر انفرادی خلل کے الجبری مجموعے کے برابر ہوتا ہے۔ یہاں لفظ “اسی” (یا یکساں) کلیدی حیثیت رکھتا ہے۔ آپ اس مقدار کو جمع کرتے ہیں جو ہر لہر ایک ہی مقام پر اور ایک ہی لمحے میں فراہم کر رہی ہوتی ہے۔

علامات کی صورت میں بیان کریں تو، فرض کریں کہ $y(x,t)y(x,t)$ کسی ڈوری کا توازن کی حالت (equilibrium) سے عمودی ہٹاؤ (transverse displacement) ہے، جہاں $xx$ مقام (میٹر میں) اور $tt$ وقت (سیکنڈز میں) ہے۔ اگر دو لہریں الگ الگ $y_1(x,t)y\_1(x,t)$ اور $y_2(x,t)y\_2(x,t)$ پیدا کرتی ہیں، اور میڈیم لکیری کیفیت میں رہتا ہے، تو مشترکہ خلل یہ ہوگا:

$$y(x,t)=y_1(x,t)+y_2(x,t)\mathrm{.}y(x,t)=y\_1(x,t)+y\_2(x,t).$$

یہ مساوات اوورلیپ (باہمی انطباق) کو بیان کرتی ہے، نہ کہ ٹکراؤ کو۔ لکیری ماڈل میں لہریں ایک دوسرے سے ٹکرا کر واپس نہیں پلٹتیں۔ وہ ایک دوسرے کے آر پار گزر جاتی ہیں، اور جب ان کا باہمی انطباق ختم ہو جاتا ہے، تو ہر لہر اس طرح سفر جاری رکھتی ہے گویا دوسری لہر وہاں موجود ہی نہ تھی۔

حدی صورت (limiting case) کی جانچ: اگر لہر 2 موجود نہ ہو، تو ہر جگہ $y_2(x,t)=0y\_2(x,t)=0$ ہوگا، چنانچہ $y(x,t)=y_1(x,t)y(x,t)=y\_1(x,t)$۔ یوں یہ اصول اسی واحد لہر تک محدود ہو جاتا ہے جس سے آپ نے آغاز کیا تھا۔